英国华威大学Hong Liu来数学学院作报告

4月15日-20日,英国华威大学Hong Liu研究员应山东大学数学学院王光辉教授的邀请到山东大学进行了为期6天的学术交流访问,并作极值图论系列报告。报告由王光辉教授主持,山东大学数学学院图论方向的教师和研究生、山东师范大学的教师和研究生、南开大学组合数学中心的研究生等参加了此次系列报告。

16日上午,Hong Liu给大家介绍了极值组合中一些经典的Counting Problems,以及他在这方面所做的工作。首先是关于triangle-free图,1976年 Erdös,Kleitman和Rothschild给出了triangle-free图的数目,并证明了几乎所有的triangle-free图都是二部的。在由triangle-free图所构成的集合中,有这样一个子集:每个元素都是极大的triangle-free图。关于该子集的研究较少,Erdös建议首先估计该子集的大小。2014年,Balogh和Petrickova给出了该子集的大小,接下来一个很自然的问题就是考虑极大的triangle-free图的结构。2015年,Hong Liu等人证明了几乎所有的极大的triangle-free图都可以点划分为两部分,其中一部分是独立集,另一部分是导出的完美匹配。除此之外,Hong Liu还介绍了intersecting family、sidon set、sum-free set、k-AP-free set的Counting Problems。

17日上午,Hong Liu详细讲解了证明极大sum-free set集族大小的过程。1999年,Cameron和Erdös提出这样一个问题:由极大sum-free set所构成的集族有多大?2014年,Hong Liu等人给出了该集族的上界。证明过程主要用到了Container定理、Removal引理以及Structural引理。Hong Liu在讲解过程中,图文结合,思路清晰,逻辑严谨,让老师和同学们对Container定理等工具有了直观的了解。

19日上午,Hong Liu作了题为Sparse Robust Expanders and Its Applications的报告。Sparse Expanders最初由Komlós和Szemerédi于1994年提出,是解决稀疏图问题的强有力工具。利用Sparse Expanders,Hong Liu等人主要研究了两个猜想,一个是Mader在1999年提出的:C4-free且平均度为d的图G包含Kr的细分,其中r=Ω(d);另一个是Komlós于1981年提出的:任意一个最小度大于等于d的图,其哈密顿子集的个数大于等于Kd+1的哈密顿子集的个数。Hong Liu等人对这两个猜想的研究成果从某种意义上都是最优的。

Hong Liu的系列报告内容丰富,系统而全面地介绍了极值组合中的前言问题及其研究成果,讲解过程条理清晰,开阔了大家的视野,拓宽了研究极值问题的思路,老师和同学们都受益匪浅。

Hong Liu(刘鸿),华威大学数学研究所Leverhulme Early Career研究员。2010年于伊利诺伊理工学院获得硕士学位, 2014年于匈牙利塞格德大学做访问学生,2015年于伊利诺伊大学香槟分校取得数学博士学位,2016年在华威大学数学研究所做博士后研究员。在此期间,多次荣获奖学金。主要从事极值组合、图论及其应用方面的研究,在 Proc. London Math. Soc.,J. London Math. Soc., Proc. Amer. Math. Soc.,Sigma,J. Combin. Theory, Ser. B,J. Combin. Theory, Ser. A及Combinatorica等顶级杂志发表多篇学术论文。并多次受邀在国际学术会议上做邀请报告。本次访问受山东大学短期境外专家项目资助。

图/文 王悦